[Python][이코테] 최단경로 / 다익스트라 알고리즘(1)

컴퓨터공학과 학부 수준에서 주로 사용할 수 있는 최단 경로 알고리즘은 3가지가 있다.

1. 다익스트라 알고리즘
2. 플로이드 워셜
3. 벨만 포드

이중 다익스트라 알고리즘에 대해서 2번에 걸쳐 공부해보도록 한다.

 

참고로 최단경로 알고리즘은 앞서 배운 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 그대로 적용된다.

 

다익스트라 알고리즘

다익스트라 알고리즘은 그래프에서 여러 노드가 있고, 특정 노드에서 다른 노드로 가는 최단 경로를 구하는 알고리즘이다.

 

음의 간선이 없어야 하며, 실제 지도앱에서 길 찾기를 사용할 때 쓰이는 알고리즘이다.

 

방법은 다음과 같다.

 

1. 출발 노드를 정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화 한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3과 4를 반복한다.

간단하게 살펴보면

위의 경우 출발에서 A로 가는 최단 경로는 

 

출발 -> A 인 8보다

출발 -> B -> A 로 가는 7이 더 짧은 경우이다.

 

0. 초기 설정

우선 출발 노드를 1이라 정하고 

 

1에서 1로 가는 거리는 0 이기 때문에

 

경로 테이블은 0으로 설정

 

그 외의 노드를 방문하는 거리는 가장 짧은 거리를 비교하기 위해 최대한 큰 값을 정해둔다.

 

다른 언어의 경우에는 INT 변수를 사용하여 가장 큰 값을 설정하거나 할 수 있는데 파이썬은 그냥 99999999 같은 막연하게 큰 수를 사용하면 된다.

 

1. 출발 노드에서 가장 짧은 노드인 1번 노드에서 다른 노드까지 경로 계산

1번 노드에서 도달이 가능한 노드들의 경로를 기존 값들과 비교하여 더 적은값이 들어가도록 해준다.

 

각자 처음이기 때문에 무한과 각 간선들 간의 값이 비교가 되어 값이 들어갈 것이다.

 

1 → 2 : 2

1 → 3 : 5

1 → 4 : 1

이기 때문에 각 노드에 해당하는 인덱스에 각 값들을 넣어준다.

 

2. 방문하지 않은 노드 중 가장 거리가 짧은 노드에서 다시 거리 계산

해결된 1번을 제외한 그 다음 가장 경로가 짧은 4번 노드에서 도달이 가능한 다음 노드들 중 최단경로를 탐색한다.

 

4 → 3 : 1 + 3 = 4 (기존 3번의 거리인 1 → 5 : 5 보다 4가 짧기 때문에 4로 갱신)

4 → 5 : 1 + 1 = 2

 

기존 4가 1에서 출발하는 1의 가중치를 들고 있기 때문에 다음부턴 거리를 계산할 때 가중치를 더하여 거리를 계산해준다.

 

3. 같은 거리라면 일반적으로 작은 노드 번호 선택하여 다시 거리 계산

1번과 4번 노드는 이미 방문하였고

그 다음 거리가 짧은 2번, 3번, 5번 중 노드 번호가 가장 낮은 2번을 선택하여 거리를 다시 계산한다.

 

2 → 3 : 2 + 3 = 5 (3번의 거리인 4보다 5의 거리가 길기 때문에 갱신 안 함)

2 → 4 : 2 + 2 = 4 (4번의 거리인 1보다 4의 거리가 길기 때문에 갱신 안 함)

 

4. 아직 선택되지 않은 3번과 5번 노드 중 거리가 짧은 5번 노드 선택

5 → 3 : 2 + 1 = 3 (기존 3번 노드의 거리는 4 이므로 갱신)

5 → 6 : 2 + 2 = 4 (6번은 아직 무한대의 거리였기에 4로 갱신)

 

5. 3번과 6번 중 거리가 짧은 3번 노드 선택

3 → 2 : 3 + 3 = 6 (2번 거리 2 < 6 - 갱신 안 함)

3 → 6 : 3 + 5 = 8 (6번 거리 4 < 8 - 갱신 안 함)

 

6. 마지막 6번 노드 선택

6번 노드는 갈 수 있는 간선이 없으므로 종료한다.

 

위의 테이블이 의미하는 바는

 

1번 노드에서 출발할 때 각 노드까지 가는 최단 경로가

 

1번 → 2번 = 2

1번 → 3번 = 3

1번 → 4번 = 1

1번 → 5번 = 2

1번 → 6번 = 4

 

와 같다는 뜻이다.

 

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [ [] for i in range(n+1) ]

# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 만들기
visited = [False] * (n+1)

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c
    
    graph[a].append((b, c))
    
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(index)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
        
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        
        # 현재 노드와 현결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost
                
#다익스트라 알고리즘 실행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    
    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 \(O(V^2)\) 이다.

 

총 \(O(V)\) 번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색하며, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 하나하나 확인해야 하기 때문이다.

 

이후 다음 글에서 '개선된 다익스트라 알고리즘'에 대해서 공부하겠다.