[Python] 백준 1934번 - 최소공배수 (최소공배수, 최대공약수, 유클리드호제법)

https://www.acmicpc.net/problem/1934

1934번: 최소공배수

문제

두 자연수 A와 B에 대해서, A의 배수이면서 B의 배수인 자연수를 A와 B의 공배수라고 한다. 이런 공배수 중에서 가장 작은 수를 최소공배수라고 한다. 예를 들어, 6과 15의 공배수는 30, 60, 90등이 있으며, 최소 공배수는 30이다.

두 자연수 A와 B가 주어졌을 때, A와 B의 최소공배수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T(1 ≤ T ≤ 1,000)가 주어진다. 둘째 줄부터 T개의 줄에 걸쳐서 A와 B가 주어진다. (1 ≤ A, B ≤ 45,000)

출력

첫째 줄부터 T개의 줄에 A와 B의 최소공배수를 입력받은 순서대로 한 줄에 하나씩 출력한다.

 

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우선 문제를 풀기 전에 최소공배수와 최대공약수에 대해서 알고 가자.

 

최대공약수 - GCD(Greatest Common Divisor)

 

여러 수의 공통 약수중 가장 큰 수를 뜻한다.

 

예를 들어 6과 8의 최대공약수를 찾는다고 하면

 

6의 약수 - 1, 2, 3, 6
8의 약수 - 1, 2, 4, 8
6과 8의 최대공약수 - 2

 

최소공배수 - LCM(Least Common Multiple)

 

여러 수의 공통 배수중 가장 작은 수를 뜻한다.

 

위의 6과 8을 다시 사용하자면

 

6의 배수 - 6, 12, 18, 24...
8의 배수 - 8, 16, 24, 32...
6과 8의 최소공배수 - 24

 

코드로 구현하면

a,b = 6, 8

#최대공약수
for i in range(min(a, b), 0, -1):
  if a % i == 0 and b % i == 0:
    print(i) #2
    break

#최소공배수
for i in range(max(a, b), (a*b)+1):
  if i % a == 0 and i % b == 0:
    print(i) #24
    break

하지만 위의 방법은 만약 숫자가 커진다면 굉장히 많은 반복문을 통과해야 하므로 굉장히 비효율적인 방식이다.

 

유클리드 호제법

 

중고등학생 때 봤던 건데 굉장히 오랜만에 기억력을 자극시켰다.

 

검색해보니 인류 최초의 알고리즘이라고 한다.

 

간단히 정리하면

 

두 양의 정수 $ a, b (a > b)$에 대하여 $a,b$의 최대공약수는 $b,r$의 최대공약수와 같다. 즉 $$gcd(a, b) = gcd(b, r)$$ $r = 0$이라면 $a, b$의 최대공약수는 $b$가 된다.

 

사실 우리의 굳은 뇌는 이걸 보고 쉽게 수식을 떠올리기가 쉽지 않다.

 

위의 6과 8로 다시 예를 들면

 

a = 6, b = 8

6 % 8 = 6 (해당 나머지 값인 6이 r, r =6)
8 % 6  = 2
6 % 2 = 0

→나머지의 값이 0 일 때의 y 값 2가 최대공약수

 

이를 파이썬의 코드로 구현하면 2가지 방법으로 구현할 수 있다.

 

반복분

def Euclidean(a, b):
    while b != 0:
        r = a % b
        a = b
        b = r
    return a

 

재귀문

def Euclidean(a, b):
    r = b % a
    if r == 0:
        return a
    return Euclidean(r, a)

 

유클리드 호제법을 이용한 최소공배수는

 

기존 $a, b$를 곱한 값에 위에서 return된 최대공약수를 나눠주면 최소공배수다.

즉

6과 8의 최대공약수 = 2

6 * 8 // 2 = 24

최소공배수 = 24

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내가 이 문제를 처음 풀 때는 위의 공식 같은 건 전혀 모르고 그냥 머릿속에서 생각나는 대로 풀려고 했다.

 

최대한 라이브러리를 안 쓰고 해보려 했으나 몇몇 놓친 테스트 케이스로 틀렸습니다 뜨거나

 

무슨 케이스가 돌아간건지는 모르겠으나 시간초과가 떴다...

 

 

(오답)

t = int(input())
for i in range(t):
  a, b = map(int, input().split())
  j = min(a, b)
  result = 1
  n = 2
  while n <= j:
    if a % n == 0 and b % n == 0:
      a //= n
      b //= n
      result *= n
    else:
      n += 1

  print(result*a*b)

처음에는 위와 같이 작성했다.

 

하지만 시간초과가 떴는데 아마 틀린답일것 같다.

 

이후 구글에 검색해보니 파이썬에는 math라는 라이브러리가 있다.

 

https://docs.python.org/ko/3/library/math.html

math — 수학 함수 — Python 3.10.6 문서

 

여기서 gcd() 함수와 lcm() 함수가 구현되어있어 편하게 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있었다.

 

* math.gcd()는 3.5 버전 이후 추가되었으며 3.9 버전부터는 2개 이상의 인자도 받을 수 있습니다.

기존 3.5 이상 3.9 미만 버전에서는 math.gcd(a, b)의 2개의 인자만 작동합니다.

 

* math.lcm()은 3.9 버전 이후 추가되었습니다. 전달된 인자 중 어느 하나가 0이면, 반환 값은 0입니다.

인자가 없는 lcm()은 1을 반환합니다.

 

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정답 코드

 

* 리플릿(replit)을 사용하시는 분은 파이썬이 3.9 버전 이하인지 lcm()을 인식하지 못합니다.

 

lcm() 사용

import math

t = int(input())
for i in range(t):
  a, b = map(int, input().split())
  print(math.lcm(a, b))

 

lcm() 미사용

from math import gcd

t = int(input())
for i in range(t):
  a, b = map(int, input().split())
  print(a*b//gcd(a,b))